Наибольший общий делитель (НОД)
Наибольший общий делитель двух или более натуральных чисел — это самое большое натуральное число, на которое делятся все заданные числа без остатка. Это фундаментальное понятие в арифметике, которое помогает упрощать дроби и решать многие математические задачи.
Как найти НОД?
Рассмотрим наглядный пример с числами 24 и 18. Для начала выпишем все делители каждого числа.
Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Теперь найдем числа, которые присутствуют в обоих списках — это общие делители: 1, 2, 3, 6. Наибольшее из них — 6. Следовательно, НОД(24, 18) = 6.
Универсальный алгоритм нахождения НОД
Для больших чисел перебор делителей неудобен. Существует эффективный алгоритм, основанный на разложении на простые множители:
1. Разложите каждое число на простые множители.
2. Выделите (подчеркните) множители, общие для всех чисел.
3. Перемножьте эти общие множители. Результат и будет НОД.
Пример:
24 = 2 * 2 * 2 * 3
18 = 2 * 3 * 3
Общие множители: 2 и 3.
НОД(24, 18) = 2 * 3 = 6.
Этот метод работает для любого количества чисел.
Взаимно простые числа
Особый случай — когда наибольший общий делитель двух чисел равен единице. Такие числа называются взаимно простыми. Например, НОД(8, 15) = 1, значит, 8 и 15 — взаимно простые числа. У них нет общих делителей, кроме единицы.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Наименьшее общее кратное двух или более натуральных чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. НОК широко используется при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.
Как найти НОК?
Рассмотрим числа 72 и 60. Выпишем их кратные:
Кратные 72: 72, 144, 216, 288, 360, 432, ...
Кратные 60: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, ...
Первое число, которое встречается в обоих рядах, — это 360. Значит, НОК(72, 60) = 360.
Алгоритм нахождения НОК для двух чисел
1. Разложите числа на простые множители.
2. Подчеркните общие множители в разложениях.
3. Чтобы получить НОК, нужно взять разложение первого числа и дополнить его те множителями из разложения второго числа, которые не были подчеркнуты.
Пример для чисел 18 и 78:
18 = 2 * 3 * 3
78 = 2 * 3 * 13
Общие множители (2 и 3) уже есть в числе 18. Добавляем неподчеркнутый множитель 13 из разложения числа 78.
НОК(18, 78) = 18 * 13 = 234.
Алгоритм нахождения НОК для нескольких чисел
1. Найдите каноническое разложение каждого числа (разложение на простые множители в степенях).
2. Выпишите все простые множители, которые встретились.
3. Для каждого простого множителя выберите наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях.
4. Перемножьте все полученные степени. Результат — НОК.
Пример для чисел 6, 12, 25, 27:
6 = 2 * 3
12 = 2² * 3
25 = 5²
27 = 3³
Выписываем множители с наибольшими степенями: 2², 3³, 5².
НОК(6, 12, 25, 27) = 2² * 3³ * 5² = 4 * 27 * 25 = 2700.
Порядок выполнения арифметических действий
Чтобы избежать ошибок в вычислениях, необходимо строго соблюдать установленный порядок действий. Разберем его на комплексном примере:
65 - 7 * 5 + (3 * (90 - 88))² : (4 + 2)
1. Действия в скобках. Выполняем все операции внутри скобок, начиная с самых вложенных.
а) 90 - 88 = 2. Получаем: 65 - 7 * 5 + (3 * 2)² : (4 + 2)
б) 3 * 2 = 6. Получаем: 65 - 7 * 5 + 6² : (4 + 2)
в) 4 + 2 = 6. Получаем: 65 - 7 * 5 + 6² : 6
2. Возведение в степень. 6² = 36. Пример упрощается: 65 - 7 * 5 + 36 : 6
3. Умножение и деление. Эти действия выполняются по порядку слева направо.
а) 7 * 5 = 35
б) 36 : 6 = 6
Получаем: 65 - 35 + 6
4. Сложение и вычитание. Выполняются также по порядку слева направо.
а) 65 - 35 = 30
б) 30 + 6 = 36
Ответ: 36.
Таким образом, универсальный порядок действий можно запомнить так: сначала скобки, затем возведение в степень, потом умножение и деление (слева направо), и в конце — сложение и вычитание (слева направо).
P.S.: Материал подготовлен на основе учебников школьной программы по математике под редакцией А.Г. Мордковича и других справочных источников. Замечания и конструктивная критика от специалистов приветствуются.
